Нелинейные системы - колебательные (волновые) системы, процессы в к-рых не удовлетворяют суперпозиции принципу ,в отличие
от линейных систем. Все реальные физ. системы нелинейны, их можно считать линейными
лишь приближённо -при малой интенсивности колебат. и волновых процессов. Матем.
образом Н. с. являются нелинейные ур-ния (см. Нелинейные уравнения математической
физики). Изучением колебат. и волновых процессов в конкретных Н. с. занимаются
гидродинамика, нелинейная оптика, нелинейная акустика, физика плазмы
(см. Нелинейные явления в плазме ),а также химия, биология, экология,
социология и др. В то же время многие Н. с. совершенно различной природы имеют
одинаковое матем. описание. Соответственно, совпадает и характер протекающих
в них процессов. Это послужило основой для развития единого подхода к изучению
Н. с., позволило выработать базовые модели, образы и понятия и проанализировать
осн. колебат. и волновые явления в Н. с. вне зависимости от их конкретной природы.
Аналитич. описание процессов в Н. с. затруднено
ввиду отсутствия общих методов решения нелинейных ур-ний. Наиб. доступно изучение
динамики слабонелинейных систем. Описывающие их ур-ния содержат нелинейные члены
с малым параметром, что позволяет использовать разл. варианты метода возмущений
(см. Возмущений теория ).Нелинейность в таких системах проявляется либо
в возникновении малых поправок к решению линеаризов. системы ур-ний, получаемой
в пренебрежении нелинейными членами, либо, что более важно, в медленном изменении
его параметров. При исследовании сильнонелинейных систем, за исключением ограниченного
числа точно решаемых случаев, используется численное моделирование.
Разделяют два класса Н. с.- консервативные системы,
в к-рых энергия колебательных (волновых) процессов сохраняется, и неконсервативные
системы, в к-рых энергия диссипирует (диссипативиые системы)или поступает
в систему от внеш. источников (активные системы). Прогресс в изучении консервативных
Н. с. в значит. мере обусловлен возможностью применения к большинству из них
аппарата гамильтонова формализма. Во многих практически важных случаях
гамильтониан Н. с. совпадает с выражением для энергии системы. Известны, однако,
консервативные Н. с., для к-рых га-мильтоново описание не построено. Для биол.,
эколо-гич., социологич. и т. п. И. с., в к-рых строгое определение консервативности
с использованием интеграла энергии не применимо, также принято указанное деление,
основанное на аналогии их описания с физ. Н. с.
Консервативные Н. с. Простейшим примером
поведения консервативной Н. с. являются колебания нелинейного осциллятора, описываемые
ур-нием
Если функция f(x) линейна [f(x)-
х], то осциллятор линейный. Ур-ние нелинейного осциллятора описывает,
напр., колебания матем. маятника, изменения тока и напряжения в колебат. контуре,
в к-ром индуктивность катушки зависит от величины тока и (или) ёмкость конденсатора
зависит от напряжения, а также движение иона в пространственно неоднородном
электрич. поле и др.
Рис. 1. Потенциал электрического поля j( x)
и фазовые траектории, отвечающие
движению иона в данном поле при различных
значениях энергии 
.
На рис. 1 приведены вид потенциального рельефа
j(x) и
соответствующие ему фазовые траектории - траектории движения
изображающей точки Н. с. в фазовом пространстве (х, 
). Энергия заряж. частицы, движущейся в стационарном электрич. поле, сохраняется:
(где т,q - масса и заряд частицы; q > 0). Это выражение определяет гамильтониан осциллятора. Дифференцирование
его по времени даёт ур-ние нелинейного осциллятора, где f(x)= q/mj'x
. Осциллятор является линейным лишь при условии j(x)
~ х2, т. е. при пара-болич. потенциальном рельефе.
При этом его колебания являются гармоническими и изохронными - их частота не
зависит от амплитуды. Как видно из рис. 1, осциллятор имеет два состояния равновесия
(
= 0):
центр (при х = х0)и
седло (при х = 0), первое из них устойчиво (локальный минимум потенц.
энергии), второе неустойчиво. Выведенная из состояния покоя при х = х0
частица совершает колебания в окрестности этой точки (замкнутые кривые на
рис. 1). При малых отклонениях х от х0 осциллятор
является линейным, т. к. j
- jмин
~ (х -x0)2 при х - х0
0. С ростом
энергии осциллятора 
фазовая траектория приближается к сепаратрисе. Колебания осциллятора становятся
ангармоническими (возникают гармоники осн. частоты), т. к. всё большую часть
периода занимают участки медленного движения частицы. Период колебаний возрастает
с ростом их амплитуды и на сепаратрисе равен бесконечности (частица приближается
к неустойчивому состоянию равновесия с бесконечно малой скоростью бесконечно
долго). Т. о., колебания нелинейного осциллятора неизохронны - их период зависит
от амплитуды (энергии).
В отличие от линейных систем, в Н. с. возможно
взаимодействие колебаний (или волн) между собой. Такое взаимодействие имеет,
напр., место в системе трёх нелинейно связанных осцилляторов, описываемой системой
ур-ний
При малом m
- это слабонелинейная система. Поведение её близко к суперпозиции квазигармонич.
колебаний осцилляторов с медленно меняющимися амплитудами. Благодаря нелинейной
связи колебания двух осцилляторов с частотами w1
и w2
порождают в системе колебания с комбинац. частотами w1
b w2.
Действие малой нелинейности накапливается, если выполнено условие резонанса
частот
Эфф. обмен энергией между осцилляторами происходит, когда возбуждён ВЧ-осциллятор и энергия колебаний передаётся двум НЧ-осцилляторам - т. н. распадная неустойчивость, либо когда возбуждены два НЧ-осциллятора и идёт обратный процесс - слияние НЧ- колебаний. Подобный обмен энергией может быть периодическим (рис. 2). К задаче о взаимодействии нелинейно связанных осцилляторов сводятся во мн. случаях задачи о взаимодействии квазимонохроматич. волн в безграничных Н. с., таких, как линии передачи и волноводы с нелинейными элементами, нелинейные среды и т. п. В Н. с. с дисперсией волн эффективно взаимодействует ограниченное число волн, связанных с условиями резонанса частот и волновых векторов - условиями синхронизма.
Рис. 2. Изменение амплитуд колебаний трёх взаимодействующих осцилляторов (w3> w1, w2).
Рис. 3. Дисперсионные зависимости ионно-звуковых (1)и ленгмюровских (2) волн в плазме и диаграмма, иллюстрирующая условия синхронизма трёх взаимодействуюших волн.
Для случая трёх взаимодействующих волн, напр.
ионнозвуковой и ленгмюровских волн в плазме (см. Взаимодействие волн в плазме), они имеют вид (рис. 3):
Как и при взаимодействии нелинейно связанных
осцилляторов, здесь возможны распадная неустойчивость и слияние волн.
В отсутствие дисперсии волн в Н. с. в синхронизме
с исходной квазимонохроматич. волной находятся все её гармоники. Поэтому если
исходная волна гармоническая, то она порождает за счёт нелинейности гармоники
с кратными частотами и волновыми числами, причём с течением времени возбуждаются
всё более высокочастотные гармоники.
Рис. 4. Эволюция профиля исходной гармонической
волны в отсутствие дисперсии волн (t0<t1<t2).
На пространственно-временном
языке этот процесс соответствует искажению
профиля исходного возмущения (рис. 4) и описывается
ур-нием простой волны
к-рое отвечает, в частности, нелинейным акустич.
волнам в системе отсчёта, движущейся со скоростью звука малой амплитуды и отражает
зависимость скорости распространения возмущения от его интенсивности. Решением
его являются простые волны (или Рима-на волны) и = U(t - х/и), вид функции
U задаётся нач. возмущением. При и > 0 точки профиля с течением
времени сдвигаются в направлении распространения волны, а при и < 0
- в противоположном. Профиль волны искажается, и в нек-рый момент времени величина
их становится бесконечной - происходит "опрокидывание"
волны. Применимость ур-ния нарушается.
Наличие дисперсии волн в области ВЧ стабилизирует
"опрокидывание", т. к. ВЧ-гармоники выходят из синхронизма и практически
не возбуждаются. В результате противодействия нелинейности и дисперсии в безграничной
Н. с. могут возникать т. н. стационарные волны, распространяющиеся с пост. скоростью
без изменения формы профиля: периодич. волны сложной формы и уединённые волны
- солитоны.
Наряду с взаимодействием волн в Н. с. важную
роль играют эффекты самовоздействия. Если в Н. с. в силу особенностей дисперсионных
характеристик условия трёхволнового взаимодействия не выполнены, то наиб. существенным
является самовоздействие квазимонохроматич. волны. Оно возникает, напр., при
распространении эл--магн. волны в среде с показателем преломления, зависящим
от интенсивности поля. В частности, пучок света в такой среде формирует неоднородное
поперёк пучка распределение показателя преломления, подобное линзе, что в свою
очередь может приводить к его фокусировке - происходит самофокусировка света. Аналогично возникают самомодуляция квазимонохроматич. волн в направлении
их распространения и самосжатие волновых пакетов, приводящее к образованию стационарных
волн огибающих нелинейных волновых пакетов, в т. ч. солитонов.
В Н. с. даже в отсутствие случайных воздействий
возможны чрезвычайно сложные, нерегулярные коле-бат. и волновые режимы, требующие
для своего описания привлечения вероятностных методов, - т. н. стохастические
колебания. Такие колебания может совершать, напр., частица в двумерном потенц.
поле при нек-рых формах потенц. рельефа. Стохастическим является также взаимодействие
квазимонохроматич. волн в нелинейной среде, когда возбуждено много волн и каждая
из них участвует во мн. элементарных взаимодействиях, удовлетворяющих условиям
синхронизма,- т. н. слабая турбулентность (см. Турбулентность плазмы).
Неконсервативные Н. с. Наиб. простое проявление
диссипации в системе - затухание колебат. и волновых процессов. Однако в безграничной
Н. с. благодаря диссипации существует режим, отсутствующий в консервативных
Н. с.,- ударные волны, в т. ч. стационарные ударные волны, имеющие вид
бегущего перепада (скачка) к--л. физ. параметров, напр. давления в аку-стич.
ударной волне. Ударные волны возникают как результат эволюции простых волн:
энергия ВЧ-гар-моник, генерируемых за счёт нелинейности, эффективно поглощается
и "опрокидывания" волны не происходит.
В прикладном отношении наиб. важны нелинейные
эффекты в активных Н. с., в к-рых энергия колебаний может пополняться вследствие
неустойчивостей, обусловленных неравновесностью системы. К таким Н. с. относятся
прежде всего генераторы колебаний - от лампового до квантовых (мазеров и лазеров),
часы - от ходиков до кварцевых и т. п., в к-рых устанавливаются устойчивые незатухающие
колебания с периодом и амплитудой, в широких пределах не зависящими от нач.
условий,- автоколебания .Простейший генератор автоколебаний - автогенератор
на ламповом триоде, в к-ром потери энергии в колебат. контуре компенсируются
пополнением её за счёт непериодич. источника (батареи). Поступление энергии
в контур в нужной фазе колебаний осуществляется при помощи обратной связи на
управляющий электрод лампы. При перестройке параметров Н. с. могут происходить
качественные изменения её поведения - бифуркации. Например, колебания
в ламповом генераторе возникают при величине обратной связи, большей нек-рого
бифуркационного значения.
Как и колебания в консервативных Н. с., колебания
в активных Н. с. могут быть не только регулярными, но и стохастическими. Существуют
генераторы стоха-стич. автоколебаний - Н. с., в к-рых возможны незатухающие
хаотич. колебания со сплошным спектром за счёт энергии нешумовых источников.
Самозарождение в Н. с. стохастич. колебаний - один из возможных путей возникновения
турбулентности.
В активных колебат. Н. с., в к-рых возможно одно-врем. существование мн. мод (типов) колебаний с разл. частотами, получающих энергию от общего источника, возникает явление конкуренции мод, т. к. связь между модами порождает зависимость нелинейного затухания или усиления каждой из мод от интенсивности других. Конкуренция мод приводит к тому, что в итоге превалирует одна из них и колебания автогенератора происходят на соответствующей ей частоте. Если моды равноправны и связь их взаимна, то устанавливается режим генерации моды, преобладавшей вначале. В таких Н. с., как, напр., лазер ,конкуренция мод происходит и во времени, и в пространстве, что приводит, в частности, к установлению в пространственно-симметричном протяжённом автогенераторе несимметричных в пространстве распределений поля с преобладанием одной из встречных волн. Это один из простейших примеров самоорганизации в Н. с.- возникновение пространственного порядка из нач. беспорядка и образование сложных пространственных структур в однородных (протяжённых) неравновесных Н. с. (физ., хим., биологических и т. п.). Примерами самоорганизации в Н. с. являются конвективные ячейки жидкости, подогреваемой снизу, волны горения, волны популяций в экологич. системах, волновые возбуждения в сердечной ткани.
А. Н. Басович
|
|
 |
