В макроскопической электродинамике электрический заряд тела может считаться точечным только если его поле
рассматривается на расстояниях, существенно больших, чем характерные размеры
заряженного тела.
В противном случае электрический заряд считают непрерывно распределённым в
некоторой области пространства и вводят объёмную плотность электрического заряда
в точке (х, y, z):
где
- величина заряда, находящегося в объёме
в окрестности точки (x, у, z)в момент времени t. Если
электрический заряд находится в слое, толщиной которого можно пренебречь по сравнению
с характерным расстоянием, на котором рассматривается поле, то определяют
поверхностную плотность электрического заряда
где
- заряд элемента поверхности
Даже если заряд считается точечным, часто из соображений математического удобства
считают его непрерывно распределённым в малой области пространства. В этом
случае плотность электрического заряда является обобщённой функцией.
Если точечный заряд е находится в точке пространства r0(t), то
имеет вид дельта-функции Грина
Плотность электрического заряда системы точечных зарядов определяется выражением
где N - полное число зарядов, ri,
еi - радиусы-векторы и величины i-x зарядов.
Введение объёмной плотности электрического заряда позволяет представить
интегральную Гаусса теорему, являющуюся одной из основных в электродинамике,
в дифференциальной форме:
где Е - напряжённость электрического поля. Если объёмная плотность электрического заряда всюду конечна, то и вектор Евсюду конечен и непрерывен. В средах различают плотность электрического заряда свободных и связанных зарядов. Плотность электрического заряда связанных зарядов выражается через поляризации вектор Р:
В этом случае теорема Гаусса в дифференциальной форме имеет вид
где
- вектор индукции электрич. поля,
- плотность свободных зарядов.
Наличие поверхностной плотности электрического заряда позволяет получить из теоремы Гаусса граничные условия для вектора Е на соответствующих поверхностях:
где Е1п, Е2п
- проекции поля на нормаль к поверхности, направленную от стороны
1 к стороне 2 поверхности, Et - поле, касательное
к поверхности. Левая часть первого равенства иногда наз. поверхностной
дивергенцией. С физической точки зрения скачок напряжённости электрического поля на
заряженной поверхности возникает из-за того, что точечные заряды на поверхности
создают электрическое поле, направленное в разные стороны от поверхности. Если
поверхность заряжена положительно, то поле, создаваемое
по обе стороны поверхности направлено от поверхности. В случае отрицат.
заряда поверхности поле направлено к поверхности. Поскольку реальный физический
заряд всегда сохраняется, то плотность электрического заряда удовлетворяет уравнению непрерывности:
где j - вектор плотности электрического тока.
А. В. Тур, В. В. Яновский
|
![]() |